Densities of idempotent measures and large deviations Marianne Akian N 2534 Avril 1995

Considering measure theory in which the semifield of positive real numbers is replaced by an idempotent semiring leads to the notion of idempotent measure introduced by Maslov. Then, idempotent measures or integrals with density correspond to supremums of functions for the partial order relation induced by the idempotent structure. In this paper, we give conditions under which an idempotent measure has a density and show by many examples that they are often satisfied. These conditions depend on the lattice structure of the semiring and on the Boolean algebra in which the measure is defined. As an application, we obtain a necessary and sufficient condition for a family of probabilities to satisfy the large deviation principle as defined by Varadhan. Key-words: Idempotent semiring, Dioid, Max-plus algebra, Continuous lattice, Idempotent measure, Optimization, Large deviations. (Résumé : tsvp) e-mail : [email protected] Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France) Téléphone : (33 1) 39 63 55 11 – Télécopie : (33 1) 39 63 53 30 Densités des mesures idempotentes et grandes déviations Résumé : Si l’on considère la théorie de la mesure dans laquelle le demi-corps des réels positifs est remplacé par un demi-anneau idempotent, on obtient la notion de mesure idempotente introduite par Maslov. Les mesures ou intégrales idempotentes à densité correspondent alors à des supremums de fonctions pour la relation d’ordre partiel induite par la structure idempotente. Nous donnons ici des conditions pour qu’une mesure idempotente ait une densité et montrons par de nombreux exemples qu’elles sont souvent verifiées. Ces conditions portent à la fois sur la structure de treillis du demi-anneau et sur l’algèbre de Boole sur laquelle la mesure est définie. On trouve alors un critère pour qu’une famille de probabilités satisfasse au principe des grandes déviations tel qu’il est défini par Varadhan. Mots-clé : Demi-anneau idempotent, Dioı̈de, Algèbre max-plus, Treillis continu, Mesure idempotente, Optimisation, Grandes déviations. Densities of idempotent measures and large deviations 3